Los puentes de Königsberg en AR & VR: Estudiamos Matemáticas

Hace unos meses escribí un articulo donde hablaba y explicaba como funcionan las búsquedas en Internet por medio de una teoría matemática, los grafos. Es verdad que este articulo se antojaba un poco complicado y solo podíamos sacarle todo su partido en las clases de secundaría, incluso hacer un pequeño ejercicio emulando el famoso PageRank de Google.

Ahora mi intención es poder explicar esta teoría de Grafos de una manera aún más sencilla y para ello usaré un pequeño juego en el aula. Para gamificar en nuestra aula necesitas de un pequeño reto o problema para marcar el objetivo y la solución, por eso usaré una de las historias más famosas que se cuentan en las matemáticas: los puentes de Königsberg y que además es el nacimiento de la teoría de grafos. .

Para explicar esta actividad lo mejor será que empecemos explicando que son los puentes de Königsberg por medio de un poco de historia.

La ciudad de Königsberg (actualmente llamada Kaliningrado), es un bonito lugar situado en la desembocadura del río Pregolya, en la antigua Prusia Oriental. Este río atravesaba la ciudad, diviendo en varias partes, incluyendo una pequeña isla.

Para mejorar su comunicación entre las diferentes partes de la ciudad se creo una red de puentes de los cuales los habitantes del lugar estaban muy orgullosos.

En total, había siete grandes puentes en Kaliningrado: el puente del herrero, el puente conector, el puente verde, el puente del mercado, el puente de madera, el puente alto y el puente de la miel.

Al poco tiempo surgió un pequeño juego entre los habitantes del lugar, se propuso averiguar si sería posible encontrar un camino tal que empezando por una de las 4 zonas, pudiese acabar en dicha zona atravesando los 7 puentes una y sólo una vez, es decir, poder contestar a una simpe pregunta:

¿Se pueden atravesar todos los puentes pasando sólo una vez por cada puente?

A priori parece algo imposible, es necesario cruzar algún puente más de una vez.

La reina de Konigsberg planteó este problema como un reto matemático. No fue hasta cientos de años después, cuando en 1736 el famoso matemático Que estaba en la ciudad trabajando en la Academia Prusiana de las Ciencias, Leonhard Euler (1707-1783) enseguida se interesó por este acertijo y se propuso dar una solución

¿Qué hizo Euler?

En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos, es decir elimino todo lo sobrante en el mapa.

Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en “vértices”; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos “aristas”. También determina que hay un punto de “inicio” y un punto de “salida”.

Euler consiguió con este esquema, estudiar una solución para este famoso enigma que La reina de Konigsberg planteó como un problema matemático

Para poder recorrer los puentes de Königsberg, los vértices “intermedios” deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca “entramos” al punto de inicio y nunca “salimos” del punto de llegada.

Para simplificarlo aún más y poder explicarlo en el aula, vamos a imaginar una ruta que tenemos que recorrer, podríamos imaginar cualquier ruta o lugar para usarlo como ejemplo en clase pero para seguir con algunos apuntes de historia, vamos a escoger la única ruta que realizó el trasatlántico TITANIC en su viaje inaugural.

¿Cómo lo resolvemos?

Tienes que salir una vez del punto de inicio (nº impar, azul), entrar en un punto intermedio y salir de él (nº par, rojo) y acabar entrando en el punto de llegada (nº impar, verde).

¿Y dónde está la genialidad de Euler?

En que este método se aplica a cualquier problema de este tipo. Con calcular las aristas que tienen los puntos intermedios y extremos podemos saber a la primera si el problema tiene solución o no. En el caso de los puentes de Königsberg, los vértices intermedios tienen un número impar de aristas, por lo que es absolutamente imposible realizar la hazaña del ejercicio planteado.

Pasamos de las matemáticas de Euler a la Realidad Aumentada.

Para poder entender de una manera aún más clara este gran enigma matemático lo hemos creado el escenario de forma real usando la Realidad Aumentada, incluso usando este escenario de forma interactiva en forma de juego.

Debemos mover a Leonhard Euler por todo los escenarios de la ciudad y atravesando los 7 puentes una sola vez. Como factor importante vemos que cada vez que el habitante cruza un puente, este desaparece para evitar romper las reglas del enigma matemático. Podemos ver el juego en este video.

También podemos jugar en Realidad Virtual

Para terminar nuestra actividad planteamos a nuestros alumnos un recorrido real que se pueda completar (es decir, todo lo contrario a los puentes de Königsberg) usando la teoría que acabamos de estudiar.

Para ello mencionamos estos 2 puntos (pistas) y 2 condiciones

1. El ejercicio debe realizarse sobre un mapa real y actual, usando Google Maps o similares. Después se usará cualquier herramienta de modificación de imágenes para dibujar los “futuros puentes”.

2. Minimo tiene que haber 7 puentes como en la ciudad de Königsberg

3. Si el punto de llegada y salida es el mismo, obligatoriamente debe tener un número par de aristas (uno para salir y otro para regresar). Esto se conoce como “ciclo euleriano”.

4. Si por el contrario el punto de salida y el de llegada son diferentes, deben tener obligatoriamente un número impar de aristas. Esto es lo que conocemos como “camino euleriano”.

“Estos estudios realizados por Euler fueron el detonante de la teoría de grafos, convirtiendo una simple discusión pueblerina en toda una disciplina científica.”